Grassmann Algebra Volume 1: Foundations

Exploring extended vector algebra with Mathematica

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Author: John Browne

Publisher: John M Browne

ISBN: 1479197637

Category: Mathematics

Page: 588

View: 9706

Grassmann Algebra Volume 1: Foundations Exploring extended vector algebra with Mathematica Grassmann algebra extends vector algebra by introducing the exterior product to algebraicize the notion of linear dependence. With it, vectors may be extended to higher-grade entities: bivectors, trivectors, … multivectors. The extensive exterior product also has a regressive dual: the regressive product. The pair behaves a little like the Boolean duals of union and intersection. By interpreting one of the elements of the vector space as an origin point, points can be defined, and the exterior product can extend points into higher-grade located entities from which lines, planes and multiplanes can be defined. Theorems of Projective Geometry are simply formulae involving these entities and the dual products. By introducing the (orthogonal) complement operation, the scalar product of vectors may be extended to the interior product of multivectors, which in this more general case may no longer result in a scalar. The notion of the magnitude of vectors is extended to the magnitude of multivectors: for example, the magnitude of the exterior product of two vectors (a bivector) is the area of the parallelogram formed by them. To develop these foundational concepts, we need only consider entities which are the sums of elements of the same grade. This is the focus of this volume. But the entities of Grassmann algebra need not be of the same grade, and the possible product types need not be constricted to just the exterior, regressive and interior products. For example quaternion algebra is simply the Grassmann algebra of scalars and bivectors under a new product operation. Clifford, geometric and higher order hypercomplex algebras, for example the octonions, may be defined similarly. If to these we introduce Clifford's invention of a scalar which squares to zero, we can define entities (for example dual quaternions) with which we can perform elaborate transformations. Exploration of these entities, operations and algebras will be the focus of the volume to follow this. There is something fascinating about the beauty with which the mathematical structures that Hermann Grassmann discovered describe the physical world, and something also fascinating about how these beautiful structures have been largely lost to the mainstreams of mathematics and science. He wrote his seminal Ausdehnungslehre (Die Ausdehnungslehre. Vollständig und in strenger Form) in 1862. But it was not until the latter part of his life that he received any significant recognition for it, most notably by Gibbs and Clifford. In recent times David Hestenes' Geometric Algebra must be given the credit for much of the emerging awareness of Grass­mann's innovation. In the hope that the book be accessible to scientists and engineers, students and professionals alike, the text attempts to avoid any terminology which does not make an essential contribution to an understanding of the basic concepts. Some familiarity with basic linear algebra may however be useful. The book is written using Mathematica, a powerful system for doing mathematics on a computer. This enables the theory to be cross-checked with computational explorations. However, a knowledge of Mathematica is not essential for an appreciation of Grassmann's beautiful ideas.

Graßmann

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Author: Hans-Joachim Petsche

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3764375418

Category: Mathematics

Page: 326

View: 8547

Hermann Graßmann, Gymnasiallehrer in Stettin und bekannt als Begründer der n-dimensionalen Vektoralgebra, erwarb sich auch in der Physik und der Sprachforschung bleibende Verdienste. Gestützt auf die Dialektik Schleiermachers entwickelte er in seinem Hauptwerk, der Ausdehnungslehre, mit philosophischer Methode eine völlig neue mathematische Disziplin. Zunächst von der Fachwelt abgelehnt, wurde sein Werk Jahrzehnte später als wegweisend gefeiert. Die Biographie geht dem komplexen Geflecht innerer und äußerer Einflüsse nach, innerhalb derer Graßmann sein Schöpfertum entfaltete.

Die ausdehnugslehre

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Author: Hermann Grassmann

Publisher: N.A

ISBN: N.A

Category: Ausdehnugslehre

Page: 388

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Hermann Graßmann

Biography

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Author: Hans-Joachim Petsche

Publisher: Springer Science & Business Media

ISBN: 3764388609

Category: Mathematics

Page: 306

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Hermann Günther Graßmann was one of the most remarkable personalities in 19th-century science. A "small-town genius", he developed a groundbreaking n-dimensional algebra of space and contributed to a revolution in the understanding of mathematics. His work fascinated great mathematicians such as W. R. Hamilton, J. W. Gibbs and A. N. Whitehead. This intellectual biography traces Graßmann’s steps towards scientific brilliance by untangling a complicated web of influences: the force of unsolved problems in mathematics, Friedrich Schleiermacher’s Dialectic, German Romanticism and life in 19th-century Prussia. The book also introduces the reader to the details of Graßmann’s mathematical work without neglecting his achievements in Sanskrit philology and physics. And, for the first time, it makes many original sources accessible to the English-language reader.

David Hilbert

Grundlagen der Geometrie (Festschrift 1899)

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Author: Klaus Volkert

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3662455692

Category: Mathematics

Page: 268

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Originaltext und historischer und mathematischer Kommentar von Klaus Volkert David Hilberts „Festschrift“ Grundlagen der Geometrie“ aus dem Jahre 1899 wurde zu einem der einflussreichsten Texte der Mathematikgeschichte. Wie kein anderes Werk prägte es die Mathematik des 20. Jahrhunderts und ist auch heute noch von größtem Interesse. Aus der Perspektive eines Mathematikhistorikers schildert der Herausgeber die Entwicklung einer Axiomatik der Geometrie, die spätestens mit Euklids „Elemente“ (ca. 300 v. u. Z.) begann und erst durch Hilbert zu einem vollständigen und handhabbaren System geführt wurde. Nach einer ausführlichen Erläuterung des Hilbertschen Textes wird seine Rezeption bis 1905 umfassend dargestellt und daran anschließend viele der von ihm ausgehenden weiteren direkten und indirekten Entwicklungen skizziert. Die Faszination des Textes ist auch dem heutigen Leser direkt zugänglich, da Hilbert ́s axiomatischer Ansatz ohne mengentheoretische Argumente oder formale Logik auskommt.

Fouriertransformation für Ingenieur- und Naturwissenschaften

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Author: Bruno Klingen

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642567754

Category: Mathematics

Page: 370

View: 4639

Dieses Lehrbuch wendet sich an Studenten der Ingenieurfächer und der Naturwissenschaften. Durch seinen systematischen und didaktischen Aufbau vermeidet es ungenaue Formulierungen und legt so die Grundlage für das Verständnis auch neuerer Methoden. Indem die klassische und die Funktionalanalysis auf der Basis des Fourieroperators zusammengeführt werden, vermittelt es ein fundiertes und verantwortbares Umgehen mit der Fouriertransformation. Gleichzeitig bietet dieses Konzept die Möglichkeit, auch die Fourierreihen, die diskrete Fouriertransformation und die Behandlung der diskreten Filter in einem einheitlichen Zusammenhang darzustellen. Das Buch enthält zahlreiche gelöste Übungsaufgaben. NEU ! Online-Ergänzungen zum Buch im Internet: - zum Kennenlernen und Vergleichen der mathematischen Programmiersysteme Mathematica, Matlab, Maple - zur Vertiefung des Buchinhaltes (unter "Extras im Web")

Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik

dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert

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Author: Hermann Grassmann

Publisher: N.A

ISBN: N.A

Category: Ausdehnungslehre

Page: 279

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Lagrange-Singularitäten

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Author: Christian Sevenheck

Publisher: Cuvillier Verlag

ISBN: 9783898737609

Category: Singularities (Mathematics)

Page: 167

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Vorlesungen über die Algebra der Logik (exakte Logik)

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Author: Ernst Schröder,Eugen Müller

Publisher: N.A

ISBN: 9783742882486

Category:

Page: 236

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Vorlesungen uber die Algebra der Logik (exakte Logik) ist ein unveranderter, hochwertiger Nachdruck der Originalausgabe aus dem Jahr 1890. Hansebooks ist Herausgeber von Literatur zu unterschiedlichen Themengebieten wie Forschung und Wissenschaft, Reisen und Expeditionen, Kochen und Ernahrung, Medizin und weiteren Genres.Der Schwerpunkt des Verlages liegt auf dem Erhalt historischer Literatur.Viele Werke historischer Schriftsteller und Wissenschaftler sind heute nur noch als Antiquitaten erhaltlich. Hansebooks verlegt diese Bucher neu und tragt damit zum Erhalt selten gewordener Literatur und historischem Wissen auch fur die Zukunft bei."

Angewandte Tensorrechnung

Für Ingenieure, Physiker und Mathematiker

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Author: Horst Lippmann

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3642802923

Category: Mathematics

Page: 266

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Dieses Lehrbuch ist als Einführung zu verstehen, und zwar für Ingenieure, Physiker oder angewandte Mathematiker. Es beruht auf einer Vorlesung für Studenten höherer Semester und setzt Vorkenntnisse entsprechend den üblichen Lehrveranstaltungen in Mathematik und Mechanik voraus. Es werden Anwendungen der Tensorrechnung auf Probleme der Mechanik, der Elektrodynamik und anderer Bereiche behandelt. Den einzelnen Kapiteln sind Übungsaufgaben angefügt, die teilweise aufeinander aufbauen. Ihre Lösungen werden gesondert zusammengefaßt.

Fünf Minuten Mathematik

100 Beiträge der Mathematik-Kolumne der Zeitung Die Welt

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Author: Ehrhard Behrends

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 9783834800824

Category:

Page: 256

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GAMMA

Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung

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Author: Julian Havil

Publisher: Springer-Verlag

ISBN: 3540484965

Category: Mathematics

Page: 302

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Jeder kennt p = 3,14159..., viele kennen e = 2,71828..., einige i. Und dann? Die "viertwichtigste" Konstante ist die Eulersche Zahl g = 0,5772156... - benannt nach dem genialen Leonhard Euler (1707-1783). Bis heute ist unbekannt, ob g eine rationale Zahl ist. Das Buch lotet die "obskure" Konstante aus. Die Reise beginnt mit Logarithmen und der harmonischen Reihe. Es folgen Zeta-Funktionen und Eulers wunderbare Identität, Bernoulli-Zahlen, Madelungsche Konstanten, Fettfinger in Wörterbüchern, elende mathematische Würmer und Jeeps in der Wüste. Besser kann man nicht über Mathematik schreiben. Was Julian Havil dazu zu sagen hat, ist spektakulär.

Lehrbuch der Algebra

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Author: Heinrich Weber

Publisher: Рипол Классик

ISBN: 5880889971

Category: History

Page: 855

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Distributionen Und Hilbertraumoperatoren

Mathematische Methoden Der Physik

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Author: Philippe Blanchard,Erwin Brüning

Publisher: Springer

ISBN: 9783211825075

Category: Science

Page: 375

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Das Buch bietet eine Einführung in die zum Studium der Theoretischen Physik notwendigen mathematischen Grundlagen. Der erste Teil des Buches beschäftigt sich mit der Theorie der Distributionen und vermittelt daneben einige Grundbegriffe der linearen Funktionalanalysis. Der zweite Teil baut darauf auf und gibt eine auf das Wesentliche beschränkte Einführung in die Theorie der linearen Operatoren in Hilbert-Räumen. Beide Teile werden von je einer Übersicht begleitet, die die zentralen Ideen und Begriffe knapp erläutert und den Inhalt kurz beschreibt. In den Anhängen werden einige grundlegende Konstruktionen und Konzepte der Funktionalanalysis dargestellt und wichtige Konsequenzen entwickelt.